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考博数学分析

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育龙考博网    http://bo.china-b.com/    发布时间:2014-09-05

    19世纪的数学家开始面对分析的基础问题,并把它完全解决,他们建立了从集合和数的基本概念出发建立逐渐复杂的概念–极限、连续性微分与积分。

    实际上,历史的顺序是恰好相反的,宛如剥卷心菜叶一般,数学家从表层开始,逐渐深入.Cauchy与Bolzano在1820年代首先开始了这一过程,他们没有严格定义实数而建立了函数理论,包括极限理论.实数的第一个严格定义是由Dedekind,Weierstrass和Heine在1860年代给出的。严格地说,他们分别给出了不同形式但互相等价的实数定义.而集合理论则在其后的Cantor,Peano和Frege的工作中才出现。

    19世纪关于数学基础的研究成果是十分庞大的,甚至不过分地说,现在人们仍然从它吸收营养得到启发,为微积分进行一个逻辑上的论证仅仅是它的意义之一。更加重要的是,通过使概念变得严密清晰,许多新问题被明晰地表述出来,从而发展成新理论。作为它的应用,我们将讨论隐函数定理,Stokes定理和Fourier级数,当今分析已经发展成为一门涵盖范围极广且富于美感的学科。既有具体的计算,又有抽象的论理,既象18世纪数学那样是强有力的计算工具,又如19世纪的数学那样具有精致的逻辑。 理解数学是一个复杂的过程,它不仅仅是理解证明的每一步并验证其是否正确,还包括看清证明的整体策略,每条假设起什么作用,同时要学会理解。

    不同的定理,诸多定义如何融合在一起形成一个有机整体。因此它是一个长期的过程:你可能在学习了最后一个定理之后才明白第一个定理的非平凡之处.所以需要经常复习,反复思考。

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